Was ist rationale zahlen?

Rationale Zahlen sind ein grundlegendes Konzept in der Mathematik und bilden die Grundlage für viele weitere mathematische Bereiche.

Definition:

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann, wobei sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner ungleich Null ist. Formal ausgedrückt: Eine Zahl q ist rational, wenn sie in der Form q = a/b geschrieben werden kann, wobei a und b ganze Zahlen sind und b ≠ 0. Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden, die entweder endlich sind oder eine sich wiederholende Periode haben.

Wichtige Eigenschaften:

• Darstellung als Bruch: Jede rationale Zahl kann als Bruch <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Bruch">a/b</a> dargestellt werden.
• Dezimaldarstellung: Jede rationale Zahl kann als endliche oder periodische Dezimalzahl dargestellt werden. Zum Beispiel ist 1/4 = 0.25 (endlich) und 1/3 = 0.333... (periodisch).
• Menge der rationalen Zahlen: Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Symbol Q bezeichnet.
• Dichte: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es immer eine weitere rationale Zahl. Dies bedeutet, dass die rationalen Zahlen "dicht" auf der Zahlengeraden liegen.
• Operationen: Rationale Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden (außer durch Null), wobei das Ergebnis immer eine rationale Zahl ist (Abgeschlossenheit). Siehe <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Arithmetische%20Operationen">Arithmetische Operationen</a>.
• Teilmengen: Die ganzen Zahlen (Z) sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen (Q), da jede ganze Zahl n als Bruch n/1 geschrieben werden kann. Natürliche Zahlen (N) sind ebenfalls eine Teilmenge von Q.

Beispiele:

• 1/2
• -3/4
• 5 (da 5 = 5/1)
• 0 (da 0 = 0/1)
• 0.75 (da 0.75 = 3/4)
• 0.333... (da 0.333... = 1/3)

Abgrenzung zu irrationalen Zahlen:

Zahlen, die nicht als Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden können, werden als irrationale Zahlen bezeichnet. Beispiele hierfür sind √2, π (Pi) und e (Eulersche Zahl). Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht-periodisch.

Bedeutung:

Rationale Zahlen sind essenziell für viele Bereiche der Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften und anderer Disziplinen. Sie ermöglichen es, Messungen, Verhältnisse und Anteile präzise darzustellen und zu berechnen. Das Konzept der <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Zahlengerade">Zahlengerade</a> baut auf rationalen (und irrationalen) Zahlen auf.